非轻质杆杠，需要考虑杠杠的自重～初中物理简单机械与功和能典题

典题3:如图所示,一根均匀杠杆,每m长重G0=30N。现以杠杆A端为支点,在杆的B端施加一竖直向上的力F,在距杆A端a=0.2m处挂一重为G=300N的重物,要使杠杆在水平位置平衡,问:杠杆多长时,加在B端的力F有最小值?最小值多大？

解析:

1设杠杆长为L,则杠杆重为G0L,力F的力臂为L,杠杆自重的力臂为L/2,根据杠杆的平衡条件,有:

FL=Gxa+(G0xL)xL/2

则F=Ga/L+G0L/2

≥2√(Ga/L)x(G0L/2)

当且仅当√Ga/L=√G0L/2时，F取最小值,即:

当L=√2Ga/G0

=√2x300×0.2/30

=2(m)时有最小值,

即Fmin=√2GG0a

=√2×300×30×0.2=60（N)

小结:

1本题如果不考虑杆重,则杠杆越长,力F就越小;若考虑杆重,则杠杆越长,杠杆就越重,力就越大。所以必须两个方面都考虑到,才会出现题目中求最小值的情况。可根据杠杆的平衡条件,结合题中所给的数据,列出平衡关系式讨论极值求解。

2本题求最值，应用了均值不等式。均值不等式在许多求最值问题中有着非常重要的作用。